Atmosfera izotermiczna vs adiabatyczna.
: wtorek, 5 maja 2009, 00:25
Witam!
Jak obiecałem, zamieszczam wyniki moich poszukiwań na temat ciśnienia w atmosferze i jego zależności od wysokości.
Kilka dni temu udałem się w tym celu do http://www.igf.fuw.edu.pl/zfa/ gdzie na temat wyznaczania wysokości na podstawie ciśnienia porozmawiałem z dr hab. Hanną Pawłowską.
Tak jak przypuszczałem, Pani dr potwierdziła że całkiem dobrym modelem jest model adiabatyczny.
Ale zacznijmy od początku czyli od równania równowagi hydrostatycznej :
.
Wyprowadzania nie będę podawał, kogo interesuje proszę bardzo link http://farside.ph.utexas.edu/teaching/s ... ode54.html.
Z równania stanu gazu doskonałego, gęstość powietrza wynosi gdzie M - średnia masa molowa powietrza, p - ciśnienie na wysokości h, R - uniwersalna stała gazowa, T - temperatura na wysokości h.
Wstawiamy gęstość do równania równowagi uzyskując następujące równanie różniczkowe .
Całkujemy obustronnie w granicach dla ciśnienia od początkowego p0 na wysokości 0 do ciśnienia p na wysokości h .
Lewą całkę wykonujemy od ręki uzyskując równanie:
.
I tu zaczyna się zabawa - nasze poszukiwane ciśnienie w funkcji wysokości sprowadziliśmy do całki zależnej od temperatury i teraz od tego jak ją wybierzemy uzyskamy różne przybliżenia.
Zacznijmy od najprostszego przybliżenia a jednocześnie całkiem dobrego dla małych wysokości, czyli od modelu atmosfery izotermicznej - temperaturę przyjmujemy za stałą równą T niezależnie od wysokości.
Wówczas prawą całkę łatwo wykonujemy uzyskując równanie
.
Po przekształceniu
gdzie z jest wysokością względem położenia początkowego gdzie panowało ciśnienie p0.
Ale jak to jest w rzeczywistej atmosferze? Przecież każdy wie, że temperatura również zmienia się z wysokością! Jaką postać tej zależności wybrać?
I tu przyda się kilka faktów na temat transportu ciepła w atmosferze, mianowicie podstawową formą wymiany ciepła są procesy radiacyjne i oddawanie/pobieranie ciepła w formie promieniowania. Ich skala czasowa jest rzędu ok. 2 tygodni (w swobodnej atmosferze poza chmurami). Procesy mieszania w wyniku konwekcji są w zasadzie ograniczone tylko do turbulentnej warstwy powierzchniowej natomiast skala procesów związanych z rozprężaniem jest rzędu 1 dnia.
Jaki z tego wniosek? Rozważmy co się dzieje gdy mały balonik napełniony powietrzem umieszczony na powierzchni Ziemii będziemy unosić. Ze wzrostem wysokości, ciśnienie zewnętrzne będzie spadać a balonik będzie się rozprężał wykonując pracę. Ponieważ wymianę ciepła między balonikiem a otoczeniem możemy zaniedbać (2 tygodnie nie lata żaden balonik ani rakieta więc jest to zupełnie bez znaczenia w naszych zastosowaniach) możemy go potraktować jako układ zamknięty a więc przemiana w nim zachodząca jest przemianą adiabatyczną.
Temperatura będzie się więc zmieniać w dobrym przybliżeniu w <span style="font-weight: bold">sposób liniowy</span>. Oczywiście jest tu pewien haczyk ale do wysokości około 12km nie będziemy się nim przejmować
Przyjmijmy więc zależność temperatury od wysokości w postaci
,
gdzie T0 temperatura na powierzchni a L (L>0) współczynnik spadku temperatury z wysokością. Minus jest ponieważ temperatura spada z wysokością a współczynnik L chcemy żeby był dodatni ale oczywiście można zrobić na odwrót co jest bez znaczenia o ile pilnujemy znaków.
Wstawiając do uzyskanego wcześniej równania dostaniemy
Całka z prawej strony do policzenia w pamięci
Końcowe równanie po przekształceniu
,
gdzie p0 i T0 - ciśnienie (w hPa) i temperatura (w Kelvinach) na wysokości początkowej, L - szybkość spadku temperatury (w K/m), g - przyśpieszenie ziemskie, M - średnia masa molowa powietrza, R - uniwersalna stała gazowa, h - wysokość względna.
I oto uzyskaliśmy równanie na ciśnienie w funkcji wysokości, w oparciu o założenie liniowości zmian temperatury z wysokością.
Wspomniałem, że przy wysokościach około 12km zaczynają się problemy i nasz wzór się posypie . A dlaczego? Spójrzmy na jakościowy wykres zmienności temperatury w atmosferze:
Jak widać, powyżej pewnej wysokości temperatura przestaje spadać! Haczyk polega na przemilczanym przeze mnie założeniu, że mamy do czynienia z powietrzem SUCHYM! Otóż gdy początkowo ze wzrostem wysokości temperatura spada, osiągamy w końcu na tyle niską temperaturę że powyżej pewnej wysokości para wodna obecna w powietrzu zaczyna się skraplać oddając ciepło powietrzu, przeciwdziałając zmianie temperatury. Jest to tzw. obszar tropopauzy.
To jeszcze nie wszystkie paskudztwa jakie mogą nas spotkać jeśli chodzi o rozkład temperatury.
Problem w tym, że wzrost temperatury z wysokości może wystąpić również na niższych wysokościach i mamy wtedy do czynienia z tak zwaną http://pl.wikipedia.org/wiki/Inwersja_temperatury. Zjawisko takie może wystąpić np. w czasie bezwietrznej i bezchmurnej nocy, gdy grunt wypromieniowuje ciepło szybciej niż powietrze powyżej (mówimy wtedy o inwersji przyziemnej radiacyjnej). Efekt ten może zaburzać rozkład ciśnienia i należy unikać warunków w których inwersja może wystąpić jeżeli chcemy ciśnienie wykorzystać do wyznaczania wysokości (poczytajcie o inwersjach na Wikipedii). Innym niekorzystnym i nieprzewidywalnym zjawiskiem jest powstawanie "kominów konwekcyjnych" gdy ciepłe powietrze unosi się do góry. W czasie słonecznej pogody mogą powstawać co 10 - 30 min. i trwać od 8 do 20 min. Tu na pewno więcej do powiedzenia mają szybownicy .
A teraz zobaczmy jak wyglądają dane doświadczalne z sondażu atmosferycznego.
Dane pochodzą z sondażu atmosfery przeprowadzonego przez IMGW 28 kwietnia 2009r w Legionowie (link http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/soundin ... STNM=12374). Dane można pobrać ze strony Uniwersytetu Wyoming także dla innych dni, pomiary są przeprowadzane bodajże dwa razy dziennie z wykorzystaniem balonów stratosferycznych oprzyrządowanych w czujniki pomiarowe. Wysokość balonu mierzona jest z wykorzystaniem systemu GPS. Co ciekawe Uniwersytetu Wyoming udostępnia te dane za darmo, natomiast IMGW każe sobie za nie płacić .
Wykres temperatury w funkcji wysokości:
Jak widzimy z wykresu aż do wysokości 11769m temperatura zmienia się w sposób bardzo zachęcający .
Popatrzmy tylko na wycinek od 0 do 11769m:
Do danych w tym obszarze można ładnie dopasować prostą, korzystając z metody najmniejszych kwadratów. Uzyskana zależność T(h)=21.84-0.00741x (w stopniach Celsiusa). Tak więc w warunkach prowadzenia sondażu współczynnik L wyniósł 0.00741 K/m.
Korzystając z tych informacji porównałem na jednym wykresie wyniki z modelu izotermicznego, adiabatycznego i dane z sondażu:
Jak widać, model adiabatyczny sprawdził się znakomicie a izotermiczny działałby całkiem nieźle ale dla wysokości nie większych niż 3000m
Jak obiecałem, zamieszczam wyniki moich poszukiwań na temat ciśnienia w atmosferze i jego zależności od wysokości.
Kilka dni temu udałem się w tym celu do http://www.igf.fuw.edu.pl/zfa/ gdzie na temat wyznaczania wysokości na podstawie ciśnienia porozmawiałem z dr hab. Hanną Pawłowską.
Tak jak przypuszczałem, Pani dr potwierdziła że całkiem dobrym modelem jest model adiabatyczny.
Ale zacznijmy od początku czyli od równania równowagi hydrostatycznej :
.
Wyprowadzania nie będę podawał, kogo interesuje proszę bardzo link http://farside.ph.utexas.edu/teaching/s ... ode54.html.
Z równania stanu gazu doskonałego, gęstość powietrza wynosi gdzie M - średnia masa molowa powietrza, p - ciśnienie na wysokości h, R - uniwersalna stała gazowa, T - temperatura na wysokości h.
Wstawiamy gęstość do równania równowagi uzyskując następujące równanie różniczkowe .
Całkujemy obustronnie w granicach dla ciśnienia od początkowego p0 na wysokości 0 do ciśnienia p na wysokości h .
Lewą całkę wykonujemy od ręki uzyskując równanie:
.
I tu zaczyna się zabawa - nasze poszukiwane ciśnienie w funkcji wysokości sprowadziliśmy do całki zależnej od temperatury i teraz od tego jak ją wybierzemy uzyskamy różne przybliżenia.
Zacznijmy od najprostszego przybliżenia a jednocześnie całkiem dobrego dla małych wysokości, czyli od modelu atmosfery izotermicznej - temperaturę przyjmujemy za stałą równą T niezależnie od wysokości.
Wówczas prawą całkę łatwo wykonujemy uzyskując równanie
.
Po przekształceniu
gdzie z jest wysokością względem położenia początkowego gdzie panowało ciśnienie p0.
Ale jak to jest w rzeczywistej atmosferze? Przecież każdy wie, że temperatura również zmienia się z wysokością! Jaką postać tej zależności wybrać?
I tu przyda się kilka faktów na temat transportu ciepła w atmosferze, mianowicie podstawową formą wymiany ciepła są procesy radiacyjne i oddawanie/pobieranie ciepła w formie promieniowania. Ich skala czasowa jest rzędu ok. 2 tygodni (w swobodnej atmosferze poza chmurami). Procesy mieszania w wyniku konwekcji są w zasadzie ograniczone tylko do turbulentnej warstwy powierzchniowej natomiast skala procesów związanych z rozprężaniem jest rzędu 1 dnia.
Jaki z tego wniosek? Rozważmy co się dzieje gdy mały balonik napełniony powietrzem umieszczony na powierzchni Ziemii będziemy unosić. Ze wzrostem wysokości, ciśnienie zewnętrzne będzie spadać a balonik będzie się rozprężał wykonując pracę. Ponieważ wymianę ciepła między balonikiem a otoczeniem możemy zaniedbać (2 tygodnie nie lata żaden balonik ani rakieta więc jest to zupełnie bez znaczenia w naszych zastosowaniach) możemy go potraktować jako układ zamknięty a więc przemiana w nim zachodząca jest przemianą adiabatyczną.
Temperatura będzie się więc zmieniać w dobrym przybliżeniu w <span style="font-weight: bold">sposób liniowy</span>. Oczywiście jest tu pewien haczyk ale do wysokości około 12km nie będziemy się nim przejmować
Przyjmijmy więc zależność temperatury od wysokości w postaci
,
gdzie T0 temperatura na powierzchni a L (L>0) współczynnik spadku temperatury z wysokością. Minus jest ponieważ temperatura spada z wysokością a współczynnik L chcemy żeby był dodatni ale oczywiście można zrobić na odwrót co jest bez znaczenia o ile pilnujemy znaków.
Wstawiając do uzyskanego wcześniej równania dostaniemy
Całka z prawej strony do policzenia w pamięci
Końcowe równanie po przekształceniu
,
gdzie p0 i T0 - ciśnienie (w hPa) i temperatura (w Kelvinach) na wysokości początkowej, L - szybkość spadku temperatury (w K/m), g - przyśpieszenie ziemskie, M - średnia masa molowa powietrza, R - uniwersalna stała gazowa, h - wysokość względna.
I oto uzyskaliśmy równanie na ciśnienie w funkcji wysokości, w oparciu o założenie liniowości zmian temperatury z wysokością.
Wspomniałem, że przy wysokościach około 12km zaczynają się problemy i nasz wzór się posypie . A dlaczego? Spójrzmy na jakościowy wykres zmienności temperatury w atmosferze:
Jak widać, powyżej pewnej wysokości temperatura przestaje spadać! Haczyk polega na przemilczanym przeze mnie założeniu, że mamy do czynienia z powietrzem SUCHYM! Otóż gdy początkowo ze wzrostem wysokości temperatura spada, osiągamy w końcu na tyle niską temperaturę że powyżej pewnej wysokości para wodna obecna w powietrzu zaczyna się skraplać oddając ciepło powietrzu, przeciwdziałając zmianie temperatury. Jest to tzw. obszar tropopauzy.
To jeszcze nie wszystkie paskudztwa jakie mogą nas spotkać jeśli chodzi o rozkład temperatury.
Problem w tym, że wzrost temperatury z wysokości może wystąpić również na niższych wysokościach i mamy wtedy do czynienia z tak zwaną http://pl.wikipedia.org/wiki/Inwersja_temperatury. Zjawisko takie może wystąpić np. w czasie bezwietrznej i bezchmurnej nocy, gdy grunt wypromieniowuje ciepło szybciej niż powietrze powyżej (mówimy wtedy o inwersji przyziemnej radiacyjnej). Efekt ten może zaburzać rozkład ciśnienia i należy unikać warunków w których inwersja może wystąpić jeżeli chcemy ciśnienie wykorzystać do wyznaczania wysokości (poczytajcie o inwersjach na Wikipedii). Innym niekorzystnym i nieprzewidywalnym zjawiskiem jest powstawanie "kominów konwekcyjnych" gdy ciepłe powietrze unosi się do góry. W czasie słonecznej pogody mogą powstawać co 10 - 30 min. i trwać od 8 do 20 min. Tu na pewno więcej do powiedzenia mają szybownicy .
A teraz zobaczmy jak wyglądają dane doświadczalne z sondażu atmosferycznego.
Dane pochodzą z sondażu atmosfery przeprowadzonego przez IMGW 28 kwietnia 2009r w Legionowie (link http://weather.uwyo.edu/cgi-bin/soundin ... STNM=12374). Dane można pobrać ze strony Uniwersytetu Wyoming także dla innych dni, pomiary są przeprowadzane bodajże dwa razy dziennie z wykorzystaniem balonów stratosferycznych oprzyrządowanych w czujniki pomiarowe. Wysokość balonu mierzona jest z wykorzystaniem systemu GPS. Co ciekawe Uniwersytetu Wyoming udostępnia te dane za darmo, natomiast IMGW każe sobie za nie płacić .
Wykres temperatury w funkcji wysokości:
Jak widzimy z wykresu aż do wysokości 11769m temperatura zmienia się w sposób bardzo zachęcający .
Popatrzmy tylko na wycinek od 0 do 11769m:
Do danych w tym obszarze można ładnie dopasować prostą, korzystając z metody najmniejszych kwadratów. Uzyskana zależność T(h)=21.84-0.00741x (w stopniach Celsiusa). Tak więc w warunkach prowadzenia sondażu współczynnik L wyniósł 0.00741 K/m.
Korzystając z tych informacji porównałem na jednym wykresie wyniki z modelu izotermicznego, adiabatycznego i dane z sondażu:
Jak widać, model adiabatyczny sprawdził się znakomicie a izotermiczny działałby całkiem nieźle ale dla wysokości nie większych niż 3000m